حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} 16 x - \frac{5}{x} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{e} 16 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{5}{x} d x$

خطوة 2

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$16 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{5}{x} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{5}{x} d x$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{5}{x} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$16 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{5}{x} d x$

خطوة 6

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$16 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (5 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 7

اضرب $5$ في $- 1$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 5 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $e$ وفي $1$ .

$16 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

خطوة 9.1.2

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $e$ وفي $1$ .

$16 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 5 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$16 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 5 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$16 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$16 \frac{e^{2}}{2} + 16 (- \frac{1}{2}) - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$2 (8) \frac{e^{2}}{2} + 16 (- \frac{1}{2}) - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 8 \frac{e^{2}}{2} + 16 (- \frac{1}{2}) - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 e^{2} + 16 (- \frac{1}{2}) - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$8 e^{2} + 16 (\frac{- 1}{2}) - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$8 e^{2} + 2 (8) \frac{- 1}{2} - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$8 e^{2} + 2 \cdot 8 \frac{- 1}{2} - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$8 e^{2} + 8 \cdot - 1 - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3.4

اضرب $8$ في $- 1$ .

$8 e^{2} - 8 - 5 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 9.3.5

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$8 e^{2} - 8 - 5 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

خطوة 9.3.6

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$8 e^{2} - 8 - 5 \ln (\frac{e}{1})$

خطوة 9.3.7

اقسِم $e$ على $1$ .

$8 e^{2} - 8 - 5 \ln (e)$

خطوة 9.3.8

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$8 e^{2} - 8 - 5 \cdot 1$

خطوة 9.3.9

اضرب $- 5$ في $1$ .

$8 e^{2} - 8 - 5$

خطوة 9.3.10

اطرح $5$ من $- 8$ .

$8 e^{2} - 13$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$8 e^{2} - 13$

الصيغة العشرية:

$46.11244879 \dots$

خطوة 11