حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} - e^{- x} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

خطوة 2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int_{1}^{6} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{1}^{6} e^{- x} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

خطوة 5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6$

خطوة 5.5

اضرب $- 1$ في $6$ .

$u_{upper} = - 6$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 6$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{- 1}^{- 6} - e^{u} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - - \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + 1 \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

خطوة 7.2

اضرب $\int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$ في $1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $6$ وفي $1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 6$ وفي $- 1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + (e^{- 6}) - e^{- 1}$

خطوة 9.3

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$9 (\ln (| 6 |) - \ln (| 1 |)) + e^{- 6} - e^{- 1}$

خطوة 10

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$9 \ln (\frac{| 6 |}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $6$ تساوي $6$ .

$9 \ln (\frac{6}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

خطوة 11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$9 \ln (\frac{6}{1}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

خطوة 11.3

اقسِم $6$ على $1$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - e^{- 1}$

خطوة 11.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

الصيغة العشرية:

$15.76043453 \dots$

خطوة 13