حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{7} \frac{10 x^{2} + 9}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{10 x^{2} + 9}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4

وسّع $(10 x^{2} + 9) x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{1}^{7} 10 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{1}^{7} 10 x^{2 - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{4 - 1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.6.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{3}{2}} d x + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$10 \int_{1}^{7} x^{\frac{3}{2}} d x + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$10 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 8

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x^{\frac{5}{2}}$ .

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 9

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + 9 \int_{1}^{7} x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + 9 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{7})$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

احسِب قيمة $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ في $7$ وفي $1$ .

$10 ((\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 9 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{7})$

خطوة 11.1.2

احسِب قيمة $2 x^{\frac{1}{2}}$ في $7$ وفي $1$ .

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 11.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 11.1.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 11.1.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

خطوة 11.1.3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$10 \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$5 (2) \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 \cdot 2 \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}) + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{5}$ إلى بسط الكسر.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 10 (\frac{- 2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.4.2

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 5 (2) \frac{- 2}{5} + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 5 \cdot 2 \frac{- 2}{5} + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 2 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 11.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) + 9 \cdot - 2$

خطوة 11.2.1.7

اضرب $2$ في $9$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} + 9 \cdot - 2$

خطوة 11.2.1.8

اضرب $9$ في $- 2$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 18$

خطوة 11.2.2

اطرح $18$ من $- 4$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 22$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 22$

الصيغة العشرية:

$544.19078056 \dots$

خطوة 13