حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{5} {(7 - \frac{4}{y})}^{2} d y$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(7 - \frac{4}{y})}^{2}$ بالصيغة $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ .

$\int_{1}^{5} (7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.2

وسّع $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{1}^{5} 7 (7 - \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $7$ في $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $7 (- \frac{4}{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

اضرب $- 1$ في $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3.1.2.2

اجمع $- 7$ و $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3.1.2.3

اضرب $- 7$ في $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $- \frac{4}{y} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.4.1

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3.1.4.2

اجمع $- 7$ و $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3.1.4.3

اضرب $- 7$ في $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

خطوة 1.3.1.6

اضرب $- \frac{4}{y} (- \frac{4}{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + 1 \frac{4}{y} \frac{4}{y} d y$

خطوة 1.3.1.6.2

اضرب $\frac{4}{y}$ في $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4}{y} \cdot \frac{4}{y} d y$

خطوة 1.3.1.6.3

اضرب $\frac{4}{y}$ في $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4 \cdot 4}{y \cdot y} d y$

خطوة 1.3.1.6.4

اضرب $4$ في $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y \cdot y} d y$

خطوة 1.3.1.6.5

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y} d y$

خطوة 1.3.1.6.6

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y^{1}} d y$

خطوة 1.3.1.6.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1 + 1}} d y$

خطوة 1.3.1.6.8

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 1.3.2

اطرح $\frac{28}{y}$ من $- \frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 2 \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $- 2 \frac{28}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اجمع $- 2$ و $\frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 2 \cdot 28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 1.4.1.2

اضرب $- 2$ في $28$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 1.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{5} 49 d y + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$49 y]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$49 y]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 5

بما أن $56$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $56$ خارج التكامل.

$49 y]_{1}^{5} - (56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 6

اضرب $56$ في $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

خطوة 8

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} \frac{1}{y^{2}} d y$

خطوة 9

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} {(y^{2})}^{- 1} d y$

خطوة 9.2

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{2 \cdot - 1} d y$

خطوة 9.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{- 2} d y$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

احسِب قيمة $49 y$ في $5$ وفي $1$ .

$(49 \cdot 5) - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

خطوة 11.1.2

احسِب قيمة $\ln (| y |)$ في $5$ وفي $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

خطوة 11.1.3

احسِب قيمة $- y^{- 1}$ في $5$ وفي $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 11.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.4.1

اضرب $49$ في $5$ .

$245 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 11.1.4.2

اضرب $- 49$ في $1$ .

$245 - 49 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 11.1.4.3

اطرح $49$ من $245$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 11.1.4.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

خطوة 11.1.4.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1)$

خطوة 11.1.4.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

خطوة 11.1.4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 \frac{- 1 + 5}{5}$

خطوة 11.1.4.8

أضف $- 1$ و $5$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (\frac{4}{5})$

خطوة 11.1.4.9

اجمع $16$ و $\frac{4}{5}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{16 \cdot 4}{5}$

خطوة 11.1.4.10

اضرب $16$ في $4$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{64}{5}$

خطوة 11.1.4.11

لكتابة $196$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$196 \cdot \frac{5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.4.12

اجمع $196$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{196 \cdot 5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.4.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{196 \cdot 5 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.4.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.4.14.1

اضرب $196$ في $5$ .

$\frac{980 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.4.14.2

أضف $980$ و $64$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.4.15

لكتابة $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 11.1.4.16

اجمع $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} + \frac{- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

خطوة 11.1.4.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1044 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

خطوة 11.1.4.18

اضرب $5$ في $- 56$ .

$\frac{1044 - 280 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

خطوة 11.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{5}$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $5$ تساوي $5$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{| 1 |})}{5}$

خطوة 11.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{1})}{5}$

خطوة 11.3.3

اقسِم $5$ على $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

الصيغة العشرية:

$118.67147690 \dots$

خطوة 13