حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$t \sqrt{5 - t}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5 - t}$ في صورة ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(5 - t)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = 5 - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 - t$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 - t$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(5 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(5 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8.3

انقُل ${(5 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ و $t$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [5 - t] + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 10

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 11

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t] + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 14.2

اجمع $\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ و $- 1$ .

$\frac{t \cdot - 1}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 14.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $t$ .

$\frac{- 1 \cdot t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 14.3.2

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{- t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 14.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 16

اضرب ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 17

لكتابة ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18

اجمع ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20

اضرب ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

انقُل ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{- t + {(5 - t)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21

بسّط ${(5 - t)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- t + (5 - t) \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22

انقُل $2$ إلى يسار $5 - t$ .

$\frac{- t + 2 \cdot (5 - t)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- t + 2 \cdot 5 + 2 (- t)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1.1

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{- t + 10 + 2 (- t)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- t + 10 - 2 t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.2

اطرح $2 t$ من $- t$ .

$\frac{- 3 t + 10}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 t$ .

$\frac{- (3 t) + 10}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.4

أعِد كتابة $10$ بالصيغة $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 t) - 1 (- 10)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 t) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 t - 10)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.6

أعِد كتابة $- (3 t - 10)$ بالصيغة $- 1 (3 t - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 t - 10)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 t - 10}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$