حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ في صورة معادلة.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ .

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ على $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ على $1$ .

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

خطوة 3.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

خطوة 3.5.3

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

خطوة 3.5.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

خطوة 3.5.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

بسّط $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ هي معكوس $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

خطوة 5.2.3.1.2

اقسِم $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ على $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

خطوة 5.2.3.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

خطوة 5.2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

خطوة 5.2.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

خطوة 5.2.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

خطوة 5.2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 2 - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

خطوة 5.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

خطوة 5.3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

خطوة 5.3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

خطوة 5.3.3.4.4

اقسِم $e^{\frac{x}{2}} - 1$ على $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

خطوة 5.3.4.2

أضف $e^{\frac{x}{2}}$ و $0$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

خطوة 5.3.5

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $\frac{x}{2}$ خارج الأُس.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

خطوة 5.3.6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

خطوة 5.3.7

اضرب $\frac{x}{2}$ في $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

خطوة 5.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

خطوة 5.3.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ هي معكوس $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$