حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sin (0.5 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (0.5 x)$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - \int - 2 \cos (0.5 x) d x$

خطوة 2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - (- 2 \int \cos (0.5 x) d x)$

خطوة 3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (0.5 x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 0.5 x$ . إذن $d u = 0.5 d x$ ، لذا $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 0.5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $0.5$ في $1$ .

$0.5$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{0.5} d u$

خطوة 5

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{0.5}$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \frac{\cos (u)}{0.5} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{0.5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{0.5}$ خارج التكامل.

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 (\frac{1}{0.5} \int \cos (u) d u)$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{0.5}$ و $2$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} \int \cos (u) d u$

خطوة 8

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$

خطوة 9

أعِد كتابة $x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$ بالصيغة $- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $0.5 x$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (0.5 x) + C$

خطوة 11

اقسِم $2$ على $0.5$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + 4 \sin (0.5 x) + C$