حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y) = 5 \sin (y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (5 \sin (y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (y)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

خطوة 2.2.3.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$4 (x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

خطوة 2.2.6

اضرب $\cos (y)$ في $1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 \sin (2 y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 y'))$

خطوة 2.3.5

اضرب $2$ في $7$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 14 \cos (2 y) y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x (- \sin (y) y')) + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

خطوة 2.4.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 x \sin (y) y' + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$5 (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 \cos (y) y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

خطوة 5.2

اطرح $4 \cos (y)$ من كلا المتعادلين.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = 5 \cos (y) y' - 4 \cos (y)$

خطوة 5.3

اطرح $5 \cos (y) y'$ من كلا المتعادلين.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 4 x \sin (y) y' + (14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.4.1.1.2

اضرب $14$ في $1$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.4.1.1.3

اضرب $- 2$ في $14$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 - 28 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.4.1.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.4.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y'$ .

$- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 x y' \sin (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.5.1.2

أخرِج العامل $y'$ من $14 y'$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.5.1.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 28 y' \sin^{2} (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.5.1.4

أخرِج العامل $y'$ من $- 5 y' \cos (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.5.1.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.5.1.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y))$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.5.1.7

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y))$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ على $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ على $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x \sin (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.3.3

أعِد كتابة $14$ بالصيغة $- 1 (- 14)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 28 \sin^{2} (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 \cos (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))}$

خطوة 5.5.2.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

خطوة 5.5.2.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.9.1

أعِد كتابة $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ بالصيغة $- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

خطوة 5.5.2.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - - \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.3.9.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y' = 1 \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

خطوة 5.5.2.3.9.4

اضرب $\frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$ في $1$ .

$y' = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$