حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 4 x \ln (5 x) d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x \ln (5 x) d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (5 x)$ و $d v = x$ .

$4 (\ln (5 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (\ln (5 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3.2

اجمع $\ln (5 x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3.4

اضرب $\frac{x^{2}}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

خطوة 3.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

خطوة 3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

خطوة 3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

خطوة 3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ بالصيغة $4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 (\frac{1}{2} \ln (5 x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$