حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{x}{3}$ . إذن $d u = \frac{1}{3} d x$ ، لذا $3 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{x}{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة $\ln (27)$ بالصيغة $\ln (3^{3})$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

خطوة 1.3.2

وسّع $\ln (3^{3})$ بنقل $3$ خارج اللوغاريتم.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

خطوة 1.3.3.2

اقسِم $\ln (3)$ على $1$ .

$u_{lower} = \ln (3)$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (216)}{3}$ بالصيغة $\frac{1}{3} \ln (216)$ .

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

خطوة 1.5.2

بسّط $\frac{1}{3} \ln (216)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة $216$ بالصيغة $6^{3}$ .

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.5.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

خطوة 1.5.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

خطوة 1.5.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

خطوة 1.5.6

احسِب قيمة الأُس.

$u_{upper} = \ln (6)$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

خطوة 2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

خطوة 2.3

انقُل $3$ إلى يسار $e^{u}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $\ln (6)$ وفي $\ln (3)$ .

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 (6 - 3)$

خطوة 5.2.4

اطرح $3$ من $6$ .

$3 \cdot 3$

خطوة 5.2.5

اضرب $3$ في $3$ .

$9$

خطوة 6