حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

خطوة 1.2

اضرب $6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{1 + x^{8}}$ .

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

خطوة 1.2.2

اجمع $x^{3}$ و $\frac{6}{1 + x^{8}}$ .

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

خطوة 1.3

انقُل $6$ إلى يسار $x^{3}$ .

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

خطوة 2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

خطوة 3

أعِد كتابة $x^{8}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{2}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x^{4}$ . إذن $d u = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x^{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{1 + u^{2}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

خطوة 5.2

انقُل $4$ إلى يسار $1 + u^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 7.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 7.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 7.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arctan (u) + C$ .

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

خطوة 9

بسّط.

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$