حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{3 x - 3}{{(x - 2 x + 1)}^{2}} d x$

خطوة 1

اطرح $2 x$ من $x$ .

$\int \frac{3 x - 3}{{(- x + 1)}^{2}} d x$

خطوة 2

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 3}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{3 (x) + 3 (- 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$

خطوة 2.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي ${(- x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

خطوة 2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ ${(- x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

خطوة 2.1.5.2

اقسِم $3 (x - 1)$ على $1$ .

$3 (x - 1) = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

خطوة 2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

خطوة 2.1.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$3 x - 3 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

خطوة 2.1.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(- x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 x - 3 = \frac{A {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

خطوة 2.1.8.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

خطوة 2.1.8.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(- x + 1)}^{2}$ و $- x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.2.1

أخرِج العامل $- x + 1$ من $(B) {(- x + 1)}^{2}$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{- x + 1}$

خطوة 2.1.8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.2.2.1

اضرب في $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

خطوة 2.1.8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

خطوة 2.1.8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 x - 3 = A + \frac{B (- x + 1)}{1}$

خطوة 2.1.8.2.2.4

اقسِم $B (- x + 1)$ على $1$ .

$3 x - 3 = A + B (- x + 1)$

خطوة 2.1.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x - 3 = A + B (- x) + B \cdot 1$

خطوة 2.1.8.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 x - 3 = A - B x + B \cdot 1$

خطوة 2.1.8.5

اضرب $B$ في $1$ .

$3 x - 3 = A - B x + B$

خطوة 2.1.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.9.1

انقُل $B$ .

$3 x - 3 = A - x B + B$

خطوة 2.1.9.2

أعِد ترتيب $A$ و $- x B$ .

$3 x - 3 = - x B + A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$3 = - 1 B$

خطوة 2.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 3 = A + B$

خطوة 2.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

خطوة 2.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد قيمة $B$ في $3 = - 1 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 B = 3$ .

$- 1 B = 3$

$- 3 = A + B$

خطوة 2.3.1.2

اقسِم كل حد في $- 1 B = 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $- 1 B = 3$ على $- 1$ .

$\frac{- 1 B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

خطوة 2.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

خطوة 2.3.1.2.2.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

خطوة 2.3.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

اقسِم $3$ على $- 1$ .

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

خطوة 2.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- 3$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $- 3 = A + B$ بـ $- 3$ .

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

خطوة 2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

خطوة 2.3.3

أوجِد قيمة $A$ في $- 3 = A - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A - 3 = - 3$ .

$A - 3 = - 3$

$B = - 3$

خطوة 2.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $A$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$A = - 3 + 3$

$B = - 3$

خطوة 2.3.3.2.2

أضف $- 3$ و $3$ .

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

خطوة 2.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$A = 0 B = - 3$

خطوة 2.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 0, B = - 3$

خطوة 2.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{0}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{- 3}{- x + 1}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اقسِم $0$ على ${(- x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{- 3}{- x + 1}$

خطوة 2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 - \frac{3}{- x + 1}$

خطوة 2.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$0 - \frac{3}{- (x) + 1}$

خطوة 2.5.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x - 1)}$

خطوة 2.5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

أعِد كتابة $- (x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x - 1)$ .

$0 - \frac{3}{- 1 (x - 1)}$

خطوة 2.5.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 + \frac{3}{x - 1}$

خطوة 2.5.6.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{x - 1})$

خطوة 2.5.6.4

اضرب $\frac{3}{x - 1}$ في $1$ .

$0 + \frac{3}{x - 1}$

خطوة 2.5.7

احذِف الصفر من العبارة.

$\int \frac{3}{x - 1} d x$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 6

بسّط.

$3 \ln (| u |) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$3 \ln (| x - 1 |) + C$