حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 16 - 9 x^{2}$ . إذن $d u = - 18 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 16 - 9 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $16 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 9 x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 - 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 9$ .

$0 - 18 x$

خطوة 2.1.4

اطرح $18 x$ من $0$ .

$- 18 x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{18}$ .

$2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

خطوة 3.3

انقُل $18$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$2 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{18}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{18}$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{18}$ و $- 2$ .

$\frac{- 2}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 7.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 7.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 7.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{9} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{9}) u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $16 - 9 x^{2}$ .

$- \frac{2}{9} {(16 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$