حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{11 x}{x - 10} d x$

خطوة 1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $11$ خارج التكامل.

$11 \int \frac{x}{x - 10} d x$

خطوة 2

اقسِم $x$ على $x - 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$10$

$x$

$0$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	-	$10$		$x$	+	$0$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	-	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$10$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 10$

				$1$
$x$	-	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$10$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	-	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$10$
					+	$10$

خطوة 2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$11 \int 1 + \frac{10}{x - 10} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$11 (\int d x + \int \frac{10}{x - 10} d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$11 (x + C + \int \frac{10}{x - 10} d x)$

خطوة 5

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$11 (x + C + 10 \int \frac{1}{x - 10} d x)$

خطوة 6

لنفترض أن $u = x - 10$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = x - 10$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $x - 10$ .

$\frac{d}{d x} [x - 10]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 6.1.4

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$11 (x + C + 10 \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$11 (x + C + 10 (\ln (| u |) + C))$

خطوة 8

بسّط.

$11 (x + 10 \ln (| u |)) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 10$ .

$11 (x + 10 \ln (| x - 10 |)) + C$