حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x \ln (4 x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \ln (4 x)$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \ln (4 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (4 x)$ .

$\ln (| \ln (4 x) |) + C$