حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{3 \cos (t)}{2}$ موجبة.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.6

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $9 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2

اجمع $3$ و $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.4

اجمع $\frac{9 \sin (t)}{2}$ و $\cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.5

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.6

اضرب $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ في $1$ .

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.7

اضرب $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ في $\frac{3 \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.8

اضرب $3$ في $2$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.9

اضرب $2$ في $9$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

خطوة 2.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

أخرِج العامل $6$ من $6 \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

خطوة 2.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.2.1

أخرِج العامل $6$ من $18 \sin (t) \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

خطوة 2.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

خطوة 2.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

خطوة 2.2.11

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

خطوة 2.2.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

خطوة 4

حوّل من $\frac{1}{\sin (t)}$ إلى $\csc (t)$ .

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

خطوة 5

تكامل $\csc (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

خطوة 8

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$