حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{5}{x}$ . إذن $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ ، لذا $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{5}{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.1.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2})$

خطوة 1.1.5

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 x^{- 2}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}}$

خطوة 1.1.6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

خطوة 2

بما أن $- \frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- \frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

خطوة 3

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط.

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

خطوة 4.2.2

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

خطوة 5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{5}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

خطوة 6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$