حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 3 \csc (2 x) d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

خطوة 2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $\csc (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u)}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u$

خطوة 6

تكامل $\csc (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ .

$\frac{3}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

خطوة 7

احسِب قيمة $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $\frac{π}{4}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

خطوة 8.2

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

خطوة 8.3

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{4})$ هي $\sqrt{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |))$

خطوة 8.4

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

خطوة 8.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

خطوة 8.6

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

خطوة 8.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |))$

خطوة 8.8

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

خطوة 8.9

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{3 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

خطوة 9.2

$\sqrt{2} - 1$ تساوي تقريبًا $0.41421356$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.32206038 \dots$