حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sin (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{6})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{6}$

خطوة 1.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

خطوة 1.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

خطوة 1.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3}))$

خطوة 6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3}))$

خطوة 7.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3}))$

خطوة 7.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{2}$

خطوة 7.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2}$

خطوة 7.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

خطوة 7.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$0$