حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x$

خطوة 1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

خطوة 5.5

اجمع $2$ و $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

خطوة 8

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $x$ في $\frac{π}{3}$ وفي $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $\frac{2 π}{3}$ وفي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

لكتابة $\frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3.2

لكتابة $- \frac{π}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $12$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3.3.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3.3.3

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3.3.4

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3.5

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 9.3.7

اطرح $3 π$ من $4 π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

خطوة 10.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

خطوة 11.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

خطوة 11.3

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

خطوة 11.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

خطوة 11.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

خطوة 11.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

خطوة 11.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

خطوة 11.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

خطوة 11.7.1.2

اضرب $2$ في $12$ .

$\frac{π}{24} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

خطوة 11.7.2

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

خطوة 11.7.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

خطوة 11.7.3

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

خطوة 11.7.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.09740604 \dots$