حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $π$ وفي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

خطوة 6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{1}{2} (\sin (0) - 1)$

خطوة 7.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1)$

خطوة 7.2

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{- 1}{2}$

خطوة 7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$- 0.5$