حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . إذن $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ ، لذا $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π}{2} x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{π}{2}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{2}{π}$ في $1$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

خطوة 2.3

اجمع $\cos^{2} (u_{1})$ و $\frac{2}{π}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

خطوة 2.4

انقُل $2$ إلى يسار $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{2}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 10

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 12

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

خطوة 14.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اجمع $\frac{π}{2}$ و $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

خطوة 15.1.2

اجمع $\frac{π}{2}$ و $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

خطوة 15.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

خطوة 15.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

خطوة 15.1.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

خطوة 15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

خطوة 15.3

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

خطوة 15.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

خطوة 15.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

خطوة 15.4

اضرب $\frac{1}{π}$ في $\frac{\sin (π x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

خطوة 15.5

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$