حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \cos (4 t)$ . إذن $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \cos (4 t)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (4 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = 4 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 t$ .

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4 \sin (4 t)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

خطوة 1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

خطوة 1.5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

خطوة 2.2

اجمع $3^{u_{2}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 5

تكامل $3^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

خطوة 6

اجمع $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ في $0$ وفي $1$ .

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

خطوة 7.2.2

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

خطوة 7.2.4

اطرح $3$ من $1$ .

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

خطوة 7.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

خطوة 7.2.6

أعِد كتابة $\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ في صورة حاصل ضرب.

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 7.2.7

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{2}{\ln (3)}$ .

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

خطوة 7.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.8.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

خطوة 7.2.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \ln (3)$ .

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

خطوة 7.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

خطوة 7.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

خطوة 7.2.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

خطوة 7.2.10

اضرب $\frac{1}{2 \ln (3)}$ في $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

الصيغة العشرية:

$0.45511961 \dots$