حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

خطوة 2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

خطوة 4.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $u]_{0}^{1}$ و $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ .

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $u + \frac{u^{3}}{3}$ في $1$ وفي $0$ .

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 9.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 9.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 9.2.4

أضف $3$ و $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 9.2.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

خطوة 9.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

خطوة 9.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

خطوة 9.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

خطوة 9.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

خطوة 9.2.6.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

خطوة 9.2.7

أضف $0$ و $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

خطوة 9.2.8

اضرب $- 1$ في $0$ .

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

خطوة 9.2.9

أضف $\frac{4}{3}$ و $0$ .

$5 (\frac{4}{3})$

خطوة 9.2.10

اجمع $5$ و $\frac{4}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

خطوة 9.2.11

اضرب $5$ في $4$ .

$\frac{20}{3}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{20}{3}$

الصيغة العشرية:

$6.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$6 \frac{2}{3}$