حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} \sqrt{x - 4} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{3}$ و $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x^{3} (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{3} \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{3}$ و $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{3} \cdot 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3} \cdot 3$ خارج التكامل.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 3}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{6}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

خطوة 4.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

خطوة 4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

خطوة 4.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

خطوة 4.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{1} = x - 4$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{1} = x - 4$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 5.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(u_{1} + 4)}^{2} d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = u_{1} + 4$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = u_{1} + 4$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u_{1} + 4$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

خطوة 6.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(u_{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{3} = u_{2} - 4$ . إذن $d u_{3} = d u_{2}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{3} = u_{2} - 4$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u_{2} - 4$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

خطوة 7.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(u_{3} + 4)}^{2} d u_{3}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة ${(u_{3} + 4)}^{2}$ بالصيغة $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((u_{3} + 4) (u_{3} + 4)) d u_{3}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} (u_{3} + 4) + 4 (u_{3} + 4)) d u_{3}$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 (u_{3} + 4)) d u_{3}$

خطوة 8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

خطوة 8.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

خطوة 8.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

خطوة 8.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

خطوة 8.8

أعِد ترتيب $u_{3}$ و $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

خطوة 8.9

أعِد ترتيب ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ و $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

خطوة 8.10

أعِد ترتيب ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ و $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

خطوة 8.11

انقُل ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

خطوة 8.12

ارفع $u_{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.14

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.16

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.17

ارفع $u_{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} {u_{3}}^{1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2} + 1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.19

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2} + \frac{2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5 + 2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.21

أضف $5$ و $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.22

ارفع $u_{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}) + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.23

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.24

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.25

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.26

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.27

ارفع $u_{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}) + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.28

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.29

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.30

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.31

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.32

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.33

أضف $4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ و $4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.34

أعِد ترتيب $8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ و $16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3}$

خطوة 8.35

انقُل ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (\int 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

خطوة 10

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

خطوة 12

اجمع $\frac{2}{5}$ و ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

خطوة 13

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

خطوة 15

اجمع $\frac{2}{7}$ و ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

خطوة 16

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C)$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اجمع $\frac{2}{9}$ و ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C)$

خطوة 17.2

بسّط.

$\frac{2}{3} x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

خطوة 17.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

خطوة 17.3.2

اجمع $\frac{2 x^{3}}{3}$ و ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

خطوة 17.3.3

اجمع $16$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{16 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

خطوة 17.3.4

اضرب $16$ في $2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

خطوة 17.3.5

اجمع $8$ و $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + \frac{8 \cdot 2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

خطوة 17.3.6

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

خطوة 17.3.7

اجمع $\frac{32}{5}$ و ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

خطوة 17.3.8

اجمع $\frac{16}{7}$ و ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

خطوة 17.3.9

اجمع $\frac{2}{9}$ و ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) + C$

خطوة 17.3.10

لكتابة $- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

خطوة 17.3.11

اجمع $- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 17.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 17.3.13

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

خطوة 18

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $u_{2} - 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(u_{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(u_{2} - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(u_{2} - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

خطوة 18.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $u_{1} + 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

خطوة 18.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

خطوة 19

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} (2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{7} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}})) + C$