حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} \cos (x^{2}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u$ .

$\int \frac{u}{2} \cos (u) d u$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{u}{2}$ و $\cos (u)$ .

$\int \frac{u \cos (u)}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u \cos (u) d u$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

خطوة 5

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

خطوة 6

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ بالصيغة $\frac{1}{2} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})) + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

خطوة 8.2

اضرب $\frac{1}{2} (x^{2} \sin (x^{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \sin (x^{2}) + \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

خطوة 8.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $\sin (x^{2})$ .

$\frac{x^{2} \sin (x^{2})}{2} + \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

خطوة 8.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (x^{2})$ .

$\frac{x^{2} \sin (x^{2})}{2} + \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (x^{2}) + \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$