حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 6 \sin (2 x) d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$6 \int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

خطوة 6

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$3 (- \cos (u)]_{0}^{π})$

خطوة 7

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $π$ وفي $0$ .

$3 (- \cos (π) + \cos (0))$

خطوة 8

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$3 (- \cos (π) + 1)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$3 (- - \cos (0) + 1)$

خطوة 9.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$3 (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

خطوة 9.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 (- - 1 + 1)$

خطوة 9.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$3 (1 + 1)$

خطوة 9.5

أضف $1$ و $1$ .

$3 \cdot 2$

خطوة 9.6

اضرب $3$ في $2$ .

$6$