حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . إذن $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

خطوة 1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

خطوة 1.5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 2.2

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ وفي $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

خطوة 6.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.2

اجمع.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.3

اضرب $2$ في $2^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

اضرب $2$ في $2^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.4

اضرب ${\sqrt{3}}^{2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.1.6

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.2

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

خطوة 7.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

خطوة 7.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

خطوة 7.5

اطرح $4$ من $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

خطوة 7.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

خطوة 7.7

اضرب $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

خطوة 7.7.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

خطوة 7.7.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

خطوة 7.7.4

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{1}{16}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{16}$

الصيغة العشرية:

$0.0625$