حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 - y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 1.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $u^{\frac{2}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.2.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

خطوة 2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3

وسّع $(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.4

انقُل الأقواس.

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.6

اضرب $u$ في $1$ .

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.7

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.9

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.11

اطرح $2$ من $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.12

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 3.13

اطرح $3 u^{- \frac{2}{3}}$ من $- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 6

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 8.2

اضرب $- 6$ في $3$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 - y$ .

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$