حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} \cos (7 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = \cos (7 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{7} \sin (7 x)) - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{7}$ و $\sin (7 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{\sin (7 x)}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{7} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{7} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - (\frac{1}{7} \cdot 2 \int \sin (7 x) (x) d x)$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{7}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} \int \sin (7 x) (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (7 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{1}{7} \cos (7 x)) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\cos (7 x)$ و $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{\cos (7 x)}{7}) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (7 x)}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

خطوة 6.3

اجمع $\cos (7 x)$ و $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - - \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + 1 \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

خطوة 8.2

اضرب $\int \frac{\cos (7 x)}{7} d x$ في $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (7 x) d x)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = 7 x$ . إذن $d u = 7 d x$ ، لذا $\frac{1}{7} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = 7 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $7$ في $1$ .

$7$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (u) \frac{1}{7} d u)$

خطوة 11

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \frac{\cos (u)}{7} d u)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int \cos (u) d u))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7 \cdot 7} \int \cos (u) d u)$

خطوة 13.2

اضرب $7$ في $7$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} \int \cos (u) d u)$

خطوة 14

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة $\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$ بالصيغة $\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اجمع $\frac{1}{7}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{7} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{7}$ و $\sin (7 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x}{7} \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.4

اجمع $\cos (7 x)$ و $\frac{x}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.5

اجمع $\frac{1}{49}$ و $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) + C$

خطوة 15.2.6

لكتابة $- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot \frac{7}{7} + C$

خطوة 15.2.7

اجمع $- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ و $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} + \frac{- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

خطوة 15.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

خطوة 15.2.9

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 7 (\frac{2}{7}) (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

خطوة 15.2.10

اجمع $- 7$ و $\frac{2}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 7 \cdot 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

خطوة 15.2.11

اضرب $- 7$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 14}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

خطوة 15.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 14$ و $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.12.1

أخرِج العامل $7$ من $- 14$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

خطوة 15.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.12.2.1

أخرِج العامل $7$ من $7$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 (1)} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

خطوة 15.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

خطوة 15.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

خطوة 15.2.12.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

خطوة 16

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\cos (7 x) x}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

خطوة 17.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7}) - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.2

اضرب $- 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + 2 \frac{x \cos (7 x)}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.2.2

اجمع $2$ و $\frac{x \cos (7 x)}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{\sin (7 x)}{49}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} + \frac{- 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 x \cos (7 x)}{7} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.5

لكتابة $x^{2} \sin (7 x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{49}{49}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + x^{2} \sin (7 x) \cdot \frac{49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.6

اجمع $x^{2} \sin (7 x)$ و $\frac{49}{49}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.8

لكتابة $\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.9

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $49$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.9.1

اضرب $\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.9.2

اضرب $7$ في $7$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{49} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.11

أعِد كتابة $\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.11.1

اضرب $7$ في $2$ .

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.2.11.2

انقُل $49$ إلى يسار $x^{2} \sin (7 x)$ .

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

خطوة 17.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7} + C$

خطوة 17.4

اضرب $\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

اضرب $\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}$ في $\frac{1}{7}$ .

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49 \cdot 7} + C$

خطوة 17.4.2

اضرب $49$ في $7$ .

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{343} + C$

خطوة 17.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{343} (14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)) + C$