حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (t)$ و $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

خطوة 2

اجمع $t$ و $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

خطوة 3

لنفترض أن $u = t^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 t d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = t^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 3.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 t + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $2 t$ و $0$ .

$2 t$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

خطوة 3.3

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

خطوة 3.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

خطوة 3.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

خطوة 3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

خطوة 3.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = x^{1} + 1$

خطوة 3.3.5

بسّط.

$u_{lower} = x + 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

خطوة 3.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 x$ .

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

خطوة 3.5.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 4.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\arctan (t) t$ في $2 x$ وفي $\sqrt{x}$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $4 x^{2} + 1$ وفي $x + 1$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

خطوة 7.3

احذِف الأقواس.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

خطوة 8

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

خطوة 9.1.2

اجمع $\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

خطوة 9.2

لكتابة $2 \arctan (2 x) x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

خطوة 9.3

اجمع $2 \arctan (2 x) x$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

خطوة 9.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

خطوة 9.5

اضرب $2$ في $2$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$