حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

خطوة 1.2

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

خطوة 1.5.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.7

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.8

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

خطوة 1.9

اضرب $\sec^{2} (x)$ في $\sec (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

انقُل $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 1.9.2

اضرب $\sec (x)$ في $\sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.2.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 1.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

خطوة 1.9.3

أضف $1$ و $2$ .

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{2} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$