حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

خطوة 1

أخرِج العامل $\sqrt{t}$ من $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $\sqrt{t}$ من $t \sqrt{t}$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

خطوة 1.2

اضرب في $1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $\sqrt{t}$ من $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

خطوة 2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $t^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

خطوة 2.2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

خطوة 2.2.3

اضرب $t^{\frac{1}{2}}$ في $t^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

انقُل $t^{- 2}$ .

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

خطوة 2.2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

خطوة 2.2.3.3

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

خطوة 2.2.3.4

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

خطوة 2.2.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

خطوة 2.2.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.6.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

خطوة 2.2.3.6.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

خطوة 2.2.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

خطوة 3

وسّع $t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب $t^{- \frac{3}{2}}$ و $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 3.3

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 3.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 3.7

أضف $- 3$ و $2$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 3.8

اضرب $t^{- \frac{3}{2}}$ في $1$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 8.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$