حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin^{2} (4 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 4 x$ . إذن $d u_{1} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 2

اجمع $\sin^{2} (u_{1})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 10.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 11

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 13

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 14

بسّط.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

خطوة 15.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 (4 x))) + C$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (8 x)) + C$

خطوة 16.1.2

اجمع $\sin (8 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

خطوة 16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{8} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

خطوة 16.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

خطوة 16.3.2

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 (x)) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

خطوة 16.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

خطوة 16.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

خطوة 16.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

خطوة 16.5

اضرب $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{\sin (8 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{8 \cdot 2} + C$

خطوة 16.5.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{16} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \sin (8 x) + C$