حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(x + 3)}^{4}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

خطوة 1.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

خطوة 1.1.1.2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

خطوة 1.1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

خطوة 1.1.1.2.4.2

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 {(x + 3)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

خطوة 1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

خطوة 1.1.2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

خطوة 1.1.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

خطوة 1.1.2.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)$

خطوة 1.1.2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} \cdot 1$

خطوة 1.1.2.3.5.2

اضرب $12$ في $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 {(x + 3)}^{2}$ .

$12 {(x + 3)}^{2}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 {(x + 3)}^{2} = 0$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ على $12$ .

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اقسِم ${(x + 3)}^{2}$ على $1$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{12}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $0$ على $12$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

خطوة 1.2.3

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 1.2.4

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f'' (- 6) = 12 {((- 6) + 3)}^{2}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $- 6$ و $3$ .

$f'' (- 6) = 12 {(- 3)}^{2}$

خطوة 4.2.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = 12 \cdot 9$

خطوة 4.2.3

اضرب $12$ في $9$ .

$f'' (- 6) = 108$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $108$ .

$108$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, - 3)$ لأن $f'' (- 6)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - 3)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 3, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 12 {((0) + 3)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $0$ و $3$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 3^{2}$

خطوة 5.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 9$

خطوة 5.2.3

اضرب $12$ في $9$ .

$f'' (0) = 108$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $108$ .

$108$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 3, \infty)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - 3)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأعلى خلال $(- 3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7