حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \sin (x) - 1$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ في صورة معادلة.

$y = 2 \sin (x) - 1$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2 \sin (y) - 1$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \sin (y) - 1 = x$ .

$2 \sin (y) - 1 = x$

خطوة 3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \sin (y) = x + 1$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $2 \sin (y) = x + 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 \sin (y) = x + 1$ على $2$ .

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $\sin (y)$ على $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل الجيب.

$y = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ هي معكوس $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (2 \sin (x) - 1)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) - 1}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) - 1 + 1}{2})$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 \sin (x) - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) + 0}{2})$

خطوة 5.2.4.2

أضف $2 \sin (x)$ و $0$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

خطوة 5.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

خطوة 5.2.5.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\sin (x))$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) - 1$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

تُعد دالتا الجيب وقوس الجيب دالتين متعاكستين.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) - 1$

خطوة 5.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

خطوة 5.3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

خطوة 5.3.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 1 - 1$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ هي معكوس $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$