حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

خطوة 2

أعِد كتابة $x^{3}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{1}$ .

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = x^{3}$ . إذن $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2}$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{lower} = 1^{3}$

خطوة 3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{upper} = 3^{3}$

خطوة 3.5

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 27$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ في $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

خطوة 4.3

انقُل $3$ إلى يسار $8 u_{1} + 1$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 6.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . إذن $d u_{2} = 8 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $8 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 u_{1} + 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $8 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.3.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 7.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$8 + 0$

خطوة 7.1.4.2

أضف $8$ و $0$ .

$8$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $8$ في $1$ .

$u_{lower} = 8 + 1$

خطوة 7.3.2

أضف $8$ و $1$ .

$u_{lower} = 9$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب $8$ في $27$ .

$u_{upper} = 216 + 1$

خطوة 7.5.2

أضف $216$ و $1$ .

$u_{upper} = 217$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{8}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

خطوة 8.2

انقُل $8$ إلى يسار $u_{2}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $2$ .

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

خطوة 12

احسِب قيمة $\ln (| u_{2} |)$ في $217$ وفي $9$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

خطوة 13.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $217$ تساوي $217$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

خطوة 14.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $9$ تساوي $9$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.79566819 \dots$

خطوة 16