حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{3} - 3 x}{x^{2}} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{3} - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{3}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) - 3 x}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot - 3}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (4 x^{2}) + x \cdot - 3$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x^{2}} d x$

خطوة 1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{2} - 3}{x} d x$

خطوة 2

اقسِم $4 x^{2} - 3$ على $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$3$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$4 x^{2}$	+	$0$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{2} + 0$

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$

خطوة 2.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$3$

خطوة 2.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{3}{x} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x$

خطوة 8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 9

اضرب $3$ في $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $e$ وفي $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

خطوة 11.1.2

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $e$ وفي $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 11.3.5

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

خطوة 11.3.6

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{1})$

خطوة 11.3.7

اقسِم $e$ على $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (e)$

خطوة 11.3.8

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \cdot 1$

خطوة 11.3.9

اضرب $- 3$ في $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3$

خطوة 11.3.10

اطرح $3$ من $- 2$ .

$2 e^{2} - 5$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$2 e^{2} - 5$

الصيغة العشرية:

$9.77811219 \dots$

خطوة 13