حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1 - x}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{1 - x}}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{\frac{1}{1 - x}})}$ .

$lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{\frac{1}{1 - x}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln (x^{\frac{1}{1 - x}})$ بنقل $\frac{1}{1 - x}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 1} e^{\frac{1}{1 - x} \ln (x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \ln (x)}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{1 - x}$ و $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x}}$

خطوة 3.1.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}}$

خطوة 3.1.3.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$e^{\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}}$

خطوة 3.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$e^{\frac{0}{1 - 1}}$

خطوة 3.1.3.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 3.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 3.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}}$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}}$

خطوة 3.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}}$

خطوة 3.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1 \cdot 1}}$

خطوة 3.3.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1}}$

خطوة 3.3.6

اطرح $1$ من $0$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 1}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 1}}$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{1}{x \cdot - 1}}$

خطوة 3.6

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1)}{x \cdot - 1}}$

خطوة 3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{lim_{x \to 1} - \frac{1}{x}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$e^{- \frac{1}{1}}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- \frac{1}{1}}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 1 \cdot 1}$

خطوة 6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{- 1}$

خطوة 6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{e}$

الصيغة العشرية:

$0.36787944 \dots$