حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

خطوة 1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $24$ خارج التكامل.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

خطوة 2

اقسِم $t$ على $2 t + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 t$

$3$

$t$

$0$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $t$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 t$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $t + \frac{3}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

خطوة 2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

خطوة 7

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

خطوة 8

لنفترض أن $u = 2 t + 3$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = 2 t + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $2 t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t + 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

خطوة 8.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

خطوة 8.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

خطوة 8.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

خطوة 8.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 8.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 8.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 2 t + 3$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 3$

خطوة 8.3.2

أضف $0$ و $3$ .

$u_{lower} = 3$

خطوة 8.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 2 t + 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اضرب $2$ في $10$ .

$u_{upper} = 20 + 3$

خطوة 8.5.2

أضف $20$ و $3$ .

$u_{upper} = 23$

خطوة 8.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

خطوة 8.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

خطوة 9.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ و $\frac{3}{4}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

خطوة 13.2

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $\frac{t}{2}$ في $10$ وفي $0$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $23$ وفي $3$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.1.2.4

اقسِم $5$ على $1$ .

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.4

أضف $5$ و $0$ .

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.5

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.6

اجمع $5$ و $\frac{4}{4}$ .

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

خطوة 14.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

خطوة 14.3.8

اضرب $5$ في $4$ .

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

خطوة 14.3.9

اجمع $24$ و $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ .

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

خطوة 14.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.10.1

أخرِج العامل $4$ من $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

خطوة 14.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.10.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

خطوة 14.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

خطوة 14.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

خطوة 14.3.10.2.4

اقسِم $6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ على $1$ .

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

خطوة 15

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $23$ تساوي $23$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

خطوة 16.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

خطوة 16.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

خطوة 16.4

اضرب $6$ في $20$ .

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

خطوة 16.5

اضرب $- 3$ في $6$ .

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

خطوة 17

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

الصيغة العشرية:

$83.33612530 \dots$

خطوة 18