حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{7} 4 x \cdot \sqrt[3]{x + 1} d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$4 (x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{3}{4}$ و ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{3}{4}$ و ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{4}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x))$

خطوة 5

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 5.3

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

خطوة 5.5

أضف $7$ و $1$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{4}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{3}{7}$ و $u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ و $\frac{3}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8} \cdot 3}{4})$

خطوة 7.3

انقُل $3$ إلى يسار $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3 \cdot (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

خطوة 7.4

لكتابة $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

خطوة 7.5

اجمع $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ و $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

خطوة 7.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4 - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

خطوة 7.7

انقُل $4$ إلى يسار $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ .

$4 \frac{4 \cdot (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

خطوة 7.8

اجمع $4$ و $\frac{4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$ .

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

خطوة 7.9

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

خطوة 7.10

اقسِم $4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$ على $1$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ في $7$ وفي $0$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ في $8$ وفي $1$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أضف $7$ و $1$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.6

اضرب $3$ في $16$ .

$4 (\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.7

اضرب $7$ في $48$ .

$4 (\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $336$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.1

أخرِج العامل $4$ من $336$ .

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.8.2.4

اقسِم $84$ على $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.9

أضف $0$ و $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.11

اضرب $3$ في $1$ .

$4 (84 - \frac{0 \cdot 3}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.12

اضرب $0$ في $3$ .

$4 (84 - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.13

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.13.1

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$4 (84 - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (84 - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.13.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$4 (84 - 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.14

اضرب $- 1$ في $0$ .

$4 (84 + 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.15

أضف $84$ و $0$ .

$4 \cdot 84 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.16

اضرب $4$ في $84$ .

$336 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.17

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.18

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.19

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.19.1

ألغِ العامل المشترك.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.19.2

أعِد كتابة العبارة.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.20

ارفع $2$ إلى القوة $7$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.21

اضرب $3$ في $128$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

خطوة 8.3.22

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1}{7})$

خطوة 8.3.23

اضرب $3$ في $1$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

خطوة 8.3.24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$336 - 3 \frac{384 - 3}{7}$

خطوة 8.3.25

اطرح $3$ من $384$ .

$336 - 3 (\frac{381}{7})$

خطوة 8.3.26

اجمع $- 3$ و $\frac{381}{7}$ .

$336 + \frac{- 3 \cdot 381}{7}$

خطوة 8.3.27

اضرب $- 3$ في $381$ .

$336 + \frac{- 1143}{7}$

خطوة 8.3.28

انقُل السالب أمام الكسر.

$336 - \frac{1143}{7}$

خطوة 8.3.29

لكتابة $336$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$336 \cdot \frac{7}{7} - \frac{1143}{7}$

خطوة 8.3.30

اجمع $336$ و $\frac{7}{7}$ .

$\frac{336 \cdot 7}{7} - \frac{1143}{7}$

خطوة 8.3.31

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{336 \cdot 7 - 1143}{7}$

خطوة 8.3.32

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.32.1

اضرب $336$ في $7$ .

$\frac{2352 - 1143}{7}$

خطوة 8.3.32.2

اطرح $1143$ من $2352$ .

$\frac{1209}{7}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1209}{7}$

الصيغة العشرية:

$172.71428571 \dots$

صيغة العدد الذي به كسر:

$172 \frac{5}{7}$

خطوة 10