حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

خطوة 3

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 4.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 4.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 4.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 5

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

خطوة 7

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $- \cos (x)$ في $π$ وفي $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $2 π$ وفي $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

خطوة 8.3

احذِف الأقواس.

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

خطوة 9.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

خطوة 10.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

خطوة 10.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

خطوة 10.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

خطوة 10.5

أضف $1$ و $1$ .

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

خطوة 10.6

اضرب $2$ في $2$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

خطوة 10.7

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

خطوة 10.8

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

خطوة 10.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

خطوة 10.10

أضف $- 1$ و $1$ .

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

خطوة 10.11

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$4 + 0$

خطوة 10.12

أضف $4$ و $0$ .

$4$