حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{x}{3}$ . إذن $d u = \frac{1}{3} d x$ ، لذا $3 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{x}{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

خطوة 1.3

اقسِم $0$ على $3$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 1.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

خطوة 2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

خطوة 2.3

انقُل $3$ إلى يسار $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

خطوة 4

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (u)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

خطوة 7

بما أن مشتق $\tan (u)$ هو $\sec^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u)$ هو $\tan (u)$ .

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 8

اجمع $- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ و $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $- u + \tan (u)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $0$ .

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

خطوة 9.2.2

أضف $0$ و $\tan (0)$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

خطوة 10.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

خطوة 10.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

خطوة 10.4

أضف $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ و $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

خطوة 11.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{3}$ إلى بسط الكسر.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

خطوة 11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

خطوة 11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- π + 3 \sqrt{3}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- π + 3 \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$2.05455976 \dots$