حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \sin (4 x)$ . إذن $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \sin (4 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

خطوة 1.1.3.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{upper} = \sin (4 π)$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

خطوة 2

اجمع ${u_{2}}^{6}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{6}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ في $0$ وفي $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 5.2.2

اضرب $\frac{1}{7}$ في $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 5.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

خطوة 5.2.4

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

خطوة 5.2.5

اضرب $0$ في $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

خطوة 5.2.6

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

خطوة 5.2.7

اضرب $\frac{1}{4}$ في $0$ .

$0$