حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

خطوة 1

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[0, 4]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x^{3}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{3} \geq 0$

خطوة 1.1.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

خطوة 1.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 1.1.3.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x \geq 0$

خطوة 1.1.4

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

خطوة 1.2

$f (x)$ متصلة على $[0, 4]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ قابلة للاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.6.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.7

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.8

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.9

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.10

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.11

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.12

اقسِم $x^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

خطوة 2.1.1.3.2

أضف $x^{\frac{1}{2}}$ و $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $[0, 4]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[0, 4]$ أم لا، أوجِد نطاق $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\sqrt{x^{1}}$

خطوة 2.2.1.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\sqrt{x}$

خطوة 2.2.1.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x \geq 0$

خطوة 2.2.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

خطوة 2.2.2

$f' (x)$ متصلة على $[0, 4]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 2.3

الدالة قابلة للاشتقاق على $[0, 4]$ لأن المشتق متصل على $[0, 4]$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 3

لضمان الحصول على طول القوس، يجب أن تكون الدالة ومشتقاتها متصلة في الفترة المُغلقة $[0, 4]$ .

تُعد الدالة ومشتقاتها متصلة في الفترة المغلقة $[0, 4]$ .

خطوة 4

أوجِد مشتق $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.6.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.7

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.8

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.9

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.10

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.11

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.2.12

اقسِم $x^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

خطوة 4.3.2

أضف $x^{\frac{1}{2}}$ و $0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5

لإيجاد طول قوس الدالة، استخدِم القاعدة $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

خطوة 6

احسِب قيمة التكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u = 1 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 6.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 6.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 6.1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 6.1.3

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 6.1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $4$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 6.1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

خطوة 6.1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

خطوة 6.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

خطوة 6.4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $5$ وفي $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 6.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 6.4.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

خطوة 6.4.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

الصيغة العشرية:

$6.78689325 \dots$

خطوة 8