حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ , $[- 1, 1]$

خطوة 1

اكتب $y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

خطوة 2

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[- 1, 1]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 x$

خطوة 2.2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

$f (x)$ متصلة على $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 4

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 5

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x d x)$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

خطوة 7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 \int_{- 1}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{3}{5}$ و $x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

خطوة 10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 \int_{- 1}^{1} x d x)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

خطوة 12.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ في $1$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

خطوة 12.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.2

اضرب $3$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.6

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.10

اضرب $\frac{3}{5}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 + 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.12

أضف $3$ و $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{6}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.13

اجمع $3$ و $\frac{6}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.14

اضرب $3$ في $6$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.15

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.3.16

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

خطوة 12.2.3.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{1 - 1}{2})$

خطوة 12.2.3.18

اطرح $1$ من $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{2}))$

خطوة 12.2.3.19

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.19.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 12.2.3.19.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.19.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 12.2.3.19.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 12.2.3.19.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{1}))$

خطوة 12.2.3.19.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \cdot 0)$

خطوة 12.2.3.20

اضرب $- 2$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} + 0)$

خطوة 12.2.3.21

أضف $\frac{18}{5}$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5})$

خطوة 13

أضف $1$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{5}$

خطوة 14

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (9)}{5}$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 9}{5}$

خطوة 14.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{9}{5}$

خطوة 15