حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{3}{x - 2}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

خطوة 2

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[4, 7]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3}{x - 2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x - 2 = 0$

خطوة 2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2}$

خطوة 3

$f (x)$ متصلة على $[4, 7]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 4

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 5

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = x - 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 7.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

خطوة 7.3

اطرح $2$ من $4$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

خطوة 7.5

اطرح $2$ من $7$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

خطوة 9

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $5$ وفي $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

خطوة 10

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $5$ تساوي $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

خطوة 11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

خطوة 12

اطرح $4$ من $7$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \ln (\frac{5}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

خطوة 14