حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{x - 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

خطوة 1.1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x - 2}$ بالصيغة ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 1.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 1.1.3.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

خطوة 1.1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

خطوة 1.1.3.5.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $[4, 7]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[4, 7]$ أم لا، أوجِد نطاق $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 2.1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.1.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2}$

خطوة 2.2

$f' (x)$ متصلة على $[4, 7]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

الدالة قابلة للاشتقاق على $[4, 7]$ لأن المشتق متصل على $[4, 7]$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 4