حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sec^{2} (x)$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

خطوة 2.1.2

الإجابة النهائية هي $\sec^{2} (x + h)$ .

$\sec^{2} (x + h)$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

$f (x) = \sec^{2} (x)$

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

$f (x) = \sec^{2} (x)$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) - (\sec^{2} (x))}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)})}{h}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{h}$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{h}$

خطوة 4.2.1.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \sec^{2} (x)}{h}$

خطوة 4.2.1.4

لكتابة $- \sec^{2} (x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \sec^{2} (x) \cdot \frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

خطوة 4.2.1.5

اجمع $- \sec^{2} (x)$ و $\frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} + \frac{- \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

خطوة 4.2.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

خطوة 4.2.1.7

أعِد كتابة $\frac{1 - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.7.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2} - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

خطوة 4.2.1.7.2

أعِد كتابة $\sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)$ بالصيغة ${(\sec (x) \cos (x + h))}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2} - {(\sec (x) \cos (x + h))}^{2}}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

خطوة 4.2.1.7.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \sec (x) \cos (x + h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

خطوة 4.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.2.3

اجمع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \cdot 1}{\cos^{2} (x + h) h}$

خطوة 4.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h) h}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h) h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{h \to 0} (1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1 + \sec (x) \cos (x + h) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{(1 + lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.4

انقُل الحد $\sec (x)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) lim_{h \to 0} \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.7

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.9

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.10

انقُل الحد $\sec (x)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) lim_{h \to 0} \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.11

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.12

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.13

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.14

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.14.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + 0)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.14.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + 0)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.15.1

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.2

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.15.2.1

أعِد كتابة $\sec (x) \cos (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{(1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

$\frac{(1 + 1) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.4

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{2 \cdot (1 - \sec (x) \cos (x))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.15.5.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.15.5.1.1

أضف الأقواس.

$\frac{2 \cdot (1 - (\sec (x) \cos (x)))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.5.1.2

أعِد كتابة $- \sec (x) \cos (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{2 \cdot (1 - (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.5.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\frac{2 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 \cdot (1 - 1)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.6

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.2.15.7

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.1.3.2

انقُل الأُس $2$ من $\cos^{2} (x + h)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot {(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

خطوة 5.1.3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

خطوة 5.1.3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 5.1.3.5

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 5.1.3.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.6.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 5.1.3.6.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x + 0)}$

خطوة 5.1.3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.7.1

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x)}$

خطوة 5.1.3.7.2

اضرب $0$ في $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.3.7.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.3.8

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{h \cos^{2} (x + h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ هو $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ حيث $f (h) = 1 + \sec (x) \cos (x + h)$ و $g (h) = 1 - \sec (x) \cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 - \sec (x) \cos (x + h)] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \sec (x) \cos (x + h)$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.6

بما أن $- \sec (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $- \sec (x) \cos (x + h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $- \sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = \cos (h)$ و $g (h) = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.7.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 \sec (x) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.9

اضرب $\sec (x)$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (\sec (x) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.11

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.12

أضف $0$ و $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) \cdot 1 + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.14

اضرب $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.15

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.16

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (0 + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.17

أضف $0$ و $\frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.18

بما أن $\sec (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $\sec (x) \cos (x + h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $\sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (\sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.19

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.19.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.19.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.19.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.20

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.21

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.22

أضف $0$ و $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.23

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.24

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.2

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.3.1

اضرب $\sec (x)$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3.2

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3.3

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3.6

اضرب $\sec (x)$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3.7

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3.8

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.3.10

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.4

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.5.1.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.1.2

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.1.5

اجمع $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ و $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.2

لكتابة $\frac{1}{\cos (x)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $\cos^{2} (x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.5.3.1

اضرب $\frac{1}{\cos (x)}$ في $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.3.2

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.5.3.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.3.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.3.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.3.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) \frac{\cos (x) + \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.5

اجمع $\sin (x + h)$ و $\frac{\cos (x) + \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.5.6.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.6.2

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.6.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.6.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.6.5

اجمع $\cos (x + h)$ و $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.7

لكتابة $\frac{1}{\cos (x)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $\cos^{2} (x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.5.8.1

اضرب $\frac{1}{\cos (x)}$ في $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.8.2

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.5.8.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.8.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.8.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.8.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) \frac{\cos (x) - \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.5.10

اجمع $\frac{\cos (x) - \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}$ و $\sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \frac{(\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h)) - (\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - (\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) - - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.7.3

اضرب $- - \cos (x + h)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.7.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) + 1 \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.7.3.2

اضرب $\cos (x + h)$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) + \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.8

جمّع الحدود المتعاكسة في $\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.8.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $\sin (x + h) \cos (x)$ و $- \cos (x) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \sin (x + h) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.8.2

اطرح $\cos (x) \sin (x + h)$ من $\cos (x) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x + h) + 0 + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.8.3

أضف $\sin (x + h) \cos (x + h)$ و $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.9

أعِد ترتيب عوامل $\sin (x + h) \cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos (x + h) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.10

أضف $\cos (x + h) \sin (x + h)$ و $\cos (x + h) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.11

أعِد ترتيب $2 \cos (x + h)$ و $\sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (2 \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.12

أعِد ترتيب $\sin (x + h)$ و $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot \sin (x + h) \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.13

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 (x + h))}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.25.14

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

خطوة 5.3.26

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ هو $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ حيث $f (h) = h$ و $g (h) = \cos^{2} (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h \frac{d}{d h} [\cos^{2} (x + h)] + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.27

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = h^{2}$ و $g (h) = \cos (x + h)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.27.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.27.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 u_{1} \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.27.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.28

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.28.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.28.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.28.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.29

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.30

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.31

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.32

أضف $0$ و $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.33

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) \cdot 1) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.34

اضرب $- 2$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 5.3.35

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h) \cdot 1}$

خطوة 5.3.36

اضرب $\cos^{2} (x + h)$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.3.37

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 5.5

اضرب $\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}$ في $\frac{1}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x) (- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h))}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل الحد $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} \sin (2 x + 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.5

احسِب قيمة حد $2 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- lim_{h \to 0} 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.8

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cos (x + h) \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.9

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} \cos (x + h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.10

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (lim_{h \to 0} x + h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.11

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.12

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.13

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.14

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.15

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

خطوة 6.16

انقُل الأُس $2$ من $\cos^{2} (x + h)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + {(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

خطوة 6.17

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

خطوة 6.18

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 6.19

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 7.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 7.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 7.4

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

خطوة 7.5

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

خطوة 8.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

خطوة 8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x + 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

خطوة 8.4.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

خطوة 8.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أخرِج العامل $\cos (x + 0)$ من $- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.1

أخرِج العامل $\cos (x + 0)$ من $- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos^{2} (x + 0)}$

خطوة 8.5.1.2

أخرِج العامل $\cos (x + 0)$ من $\cos^{2} (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos (x + 0) \cos (x + 0)}$

خطوة 8.5.1.3

أخرِج العامل $\cos (x + 0)$ من $\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos (x + 0) \cos (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0) + \cos (x + 0))}$

خطوة 8.5.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 \cdot \sin (x + 0) + \cos (x + 0))}$

خطوة 8.5.3

أضف $x$ و $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 \cdot \sin (x) + \cos (x + 0))}$

خطوة 8.5.4

اضرب $0$ في $\sin (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 + \cos (x + 0))}$

خطوة 8.5.5

أضف $x$ و $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 + \cos (x))}$

خطوة 8.5.6

أضف $0$ و $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) \cos (x)}$

خطوة 8.5.7

أضف $x$ و $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x) \cos (x)}$

خطوة 8.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

خطوة 8.6.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

خطوة 8.6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

خطوة 8.6.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.7

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sec^{2} (x) \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.8

احذِف العامل المشترك لـ $\cos (x)$ و $\cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.2.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

خطوة 8.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

خطوة 8.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sec^{2} (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 8.9

افصِل الكسور.

$\sec^{2} (x) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

خطوة 8.10

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{2}{1} \tan (x))$

خطوة 8.11

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 8.12

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 9