حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) + 3}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احذِف الأقواس.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} - (\frac{2 x}{x + 3})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لكتابة $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3}}{h}$

خطوة 4.1.2

لكتابة $- \frac{2 x}{x + 3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

خطوة 4.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + h + 3) (x + 3)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ في $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $\frac{2 x}{x + 3}$ في $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5

أعِد كتابة $\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 (x + h) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x (x + h + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2

وسّع $(x + h) (x + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x (x + 3) + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.3

انقُل $3$ إلى يسار $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x \cdot x - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.5.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.5.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.5.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.5.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.6

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h + 0 - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.7

أضف $3 x$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8

اطرح $3 x$ من $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.9

أضف $h x + 3 h - x h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.10

اطرح $x h$ من $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.10.1

أعِد ترتيب $h$ و $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + x h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.10.2

اطرح $x h$ من $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.11

أضف $3 h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (3 h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.1.5.12

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

خطوة 4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $h$ من $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل الحد $\frac{6}{x + 3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{6}{x + 3} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 3}$

خطوة 5.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

خطوة 5.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

خطوة 5.5

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

خطوة 5.6

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 3}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 0 + 3}$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

خطوة 7.2

اضرب $\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{6}{x + 3}$ في $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{6}{(x + 3) (x + 3)}$

خطوة 7.2.2

ارفع $x + 3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

خطوة 7.2.3

ارفع $x + 3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

خطوة 7.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

خطوة 7.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 8